時空，
在星期天彎曲，在星期一平直；
視界，
在星期天是真空，在星期一是電荷；
而實驗，
在星期天和星期一都是一樣的
時空真是彎曲的嗎？能不能這樣想，時空本來是平直的，但我們用來測量它的鍾和尺——我們認為理想的（什麼是理想的，請看卡片11.1）鍾和尺，實際上卻是「橡皮的」？當我們從一點走到另一點改變它們方向的時候，即使最完美的鍾也可能慢或者快，即使最完美的尺也可能縮或者長，不是嗎？我們的鍾和尺的這些變化，是不是會讓一個平直的時空顯得彎曲呢？
是的，完全可以那麼想。
圖11.1舉了一個具體的例子：測量非旋轉黑洞的周長和半徑。左邊是黑洞彎曲空間的嵌入圖，在這個圖中，空間是彎曲的，因為我們已經假定我們的尺子不是橡皮的，不論把它放在什麼地方，讓它指向什麼方向，它都會保持自己的長度——距離就是照這樣定義的。尺子測量的黑洞視界的周長是100千米。洞外還畫了一個兩倍周長，即200千米的圓，從視界到這個圓的徑向距離也用理想的尺子來量，結果是37千米。假如空間是平的，那麼徑向距離應該是外圓的半徑，200/2π千米，減去視界的半徑，100/2π千米；也就是，200/2π-100/2π=16千米（近似）。為了滿足那個大得多的徑向距離37千米，表面必然表現為像圖中那樣彎曲的喇叭形。
圖11.1 兩種觀點下黑洞附近的長度測量。左：認為時空真是彎曲的，理想的尺子精確測量時空的長度。右：認為時空實際是平直的，而理想的尺子是橡皮的，它能精確測量真實的平直時空的長度。然而，在指向徑向時，它會發生收縮，離黑洞越近，收縮量越大，因此它測得的徑向長度比真實的大（在圖示的情況下，它測的是37千米，而不是真正的16千米）。
卡片11.1 理想的鍾與尺
在這本書裡，我說「理想的鍾」和「理想的尺」，全世界最好的鐘錶和量尺製造者都明白它的意思：理想需要通過與原子和分子的行為進行對比來認定。
更具體地說，理想的鍾在與原子或分子振蕩對比時，必須均勻地「嘀嗒」。世界上最好的原子鐘就是設計來做這個的。因為原子和分子的振蕩是由我以前說的「時間流的速率」決定的，這就意味著，理想的鍾測量愛因斯坦彎曲時空的「時間」部分。
理想尺子的刻度與原子或分子發出的光的波長比，必須有均勻而標準的間隔。例如，相對於氫分子發出的21厘米波長的光的均勻間隔。這相當於要求，在某一固定標準溫度（如0℃）下，尺子在兩個刻度之間總是包含同樣固定數目的原子；這也反過來確保了理想尺子測量愛因斯坦彎曲時空的「空間」長度。
這一章引進了「真」時間和「真」長度的概念，它們並不一定是理想的鍾和尺所測量的時間和長度，也就是說，不一定是原子和分子標準的時間和長度，也不一定是嵌入愛因斯坦彎曲時空的時間和長度。
假如黑洞周圍的空間本是平直的，而我們因理想尺子是橡皮的而誤認為空間是彎曲的，那麼真正的空間幾何一定像圖11.1右圖那樣，視界和圓之間的真實距離應該是平直的歐幾里得幾何定律所要求的16千米。然而，廣義相對論認為，我們的理想尺子沒有測量這一真實距離。拿一把尺子沿著黑洞周長放在視界上（如圖11.1右邊的帶刻度的彎黑寬帶），尺子像這樣沿著周長方向，的確在測量真實距離。從尺子切出37千米長的一段，它覆蓋黑洞周邊的37%。然後，將尺子轉到半徑方向（圖上帶刻度的直黑寬帶）。轉向時，廣義相對論要求它發生收縮，指到徑向時，它的真實長度一定已經收縮到16千米了，剛好從視界到達外面的圓。但是，收縮表面的尺度還是認為它的長是37千米，從而視界與圓之間的距離是37千米。這樣，像愛因斯坦那樣不知道尺子是橡皮的人會相信這個不準確的測量，認為空間是彎曲的。而像你我這樣認識了橡皮特性的人卻知道，尺子收縮了，空間還是平直的。
什麼東西能讓尺子在改變方向時發生收縮呢？當然是引力。在圖11.1右邊的平直空間裡，存在著決定一切事物（包括基本粒子、原子核、原子、分子等）大小的引力場，它迫使所有事物在徑向上收縮。離黑洞越近，收縮量越大，離黑洞越遠，收縮量越小，因為決定收縮的引力場是黑洞產生的，它的影響隨離開黑洞的距離而減弱。
決定收縮的引力場還有其他效應。如果光子或其他粒子飛過黑洞，引力場作用將使它的軌跡發生偏轉，在黑洞周圍，軌跡是彎的；在黑洞真實的平直時空幾何中測量，它是曲線。但像愛因斯坦那樣看重他們的橡皮尺鍾測量的人，認為光子是在彎曲時空裡沿直線運動。
哪個是真正的事實呢？時空是像上面說的那樣平直呢，或者還真是彎曲的？對物理學家（如我）來說，這個問題很無聊，因為它沒有物理意義。無論彎曲的還是平直的，兩種時空觀對任何理想尺鍾所進行的測量都做出完全相同的預言，而且我們會看到，它對任何類型的物理儀器所進行的測量，也做出相同的預言。例如，兩個觀點都同意，圖11.1中視界與圖之間的徑向距離正是理想尺子所測量的37千米。他們的爭論在於這個測量距離是否「真實」，但這屬於哲學爭論，不是物理學的。因為兩者在任何實驗的結果上都一致，所以它們在物理學上是等價的。至於哪個觀點告訴了「真正的事實」，是與實驗無關的，那是哲學家而不是物理學家要討論的問題。另外，物理學家在推導廣義相對論預言時，可以而且確實交換地運用這兩個觀點。
庫恩（Thomas Kuhn）的規範概念，1很好地描述了理論物理學家工作的智力活動。1949年，庫恩在哈佛大學獲得物理學博士學位，後來成為著名的科學哲學家。在1962年的《科學革命的結構》一書裡，1他提出了規範的概念——那是我讀過的最有見識的一本書。
一個規範就是科學家群體在研究某個問題和與別人交流研究結果時所用的一整套工具。在廣義相對論上，彎曲時空觀是一個規範，平直時空觀是另一個規範。每個規範包括三個基本因素：一組數學化的物理學定律；一組供我們洞察定律和幫我們與人交流的圖像（頭腦裡的、口頭上的和畫在紙上的）；一組典型事例——即過去的計算和已經解決的問題，可以是教科書上的，也可以是科學論文裡的。它們都是相對論專家們認為做得很好、很有意義的，我們拿來作為未來計算的樣本。
彎曲時空規範以三組已經建立的數學化定律為基礎：愛因斯坦場方程，它描述物質如何產生時空曲率；告訴我們理想尺鍾測量愛因斯坦彎曲時空的長度和時間的定律；告訴我們物質和場如何在彎曲時空中運動，例如，自由運動的物體沿直線（測地線）運動的定律。平直時空規範也以三組定律為基礎：描述平直時空中的物質如何產生引力場的定律；描述場如何決定理想尺寸的收縮和理想的時鐘流如何膨脹的定律；描述引力場如何決定粒子和場在平直時空中運動的定律。
彎曲時空規範的圖像包括本書畫過的嵌入圖（如圖11.1左邊）和對黑洞周圍時空曲率的語言描述（例如，「旋轉黑洞周圍的龍捲風式的漩渦」）。平直時空規範裡的圖像包括圖11.1的右邊，一把在從周長方向轉到半徑方向發生收縮的尺子，以及對「決定尺子收縮的引力場」的語言描述。
彎曲時空規範的典型事例包括能在大多數相對論教科書裡看到的計算，可以用這些計算導出愛因斯坦場方程的史瓦西解，還包括伊斯雷爾、卡特爾和霍金等人推演黑洞「無毛」的計算。平直時空規範的典型事例包括教科書裡關於黑洞和其他物體在捕獲引力波後質量如何變化的計算和韋爾（Clifford Will）、達莫爾（Thibault Damour）等人關於相互圍繞轉動的中子星如何產生引力波（收縮產生的場的波動）的計算。
在我做研究時，規範的每一部分——定律、圖像和範例——對我的思想過程都是很重要的。圖像（頭腦中的、口頭上的和紙上的）像指南針，為我帶來對宇宙行為的直覺；憑它們和一些數學的草算，我可能找到一些有趣的想法。如果找到了值得追求的東西（如第7章的環猜想），我會在規範的數學化物理定律的基礎上做進一步計算，證明或否決它。詳細計算可向規範中的範例學習，它們將告訴我，可靠的結果需要多高的精度。（如果精度太低，結果可能是錯的；如果精度太高，計算將浪費不少時間。）範例還會告訴我，哪樣的計算能幫我通過數學符號的泥潭達到我的目標。圖像也能指導計算，幫我發現捷徑，避開死胡同。假如計算證實了我的新想法，或者至少說明它似乎是合理的，我會通過圖像和計算與相對論專家們交流，也用圖像——口頭的和書面的，與其他人交流，比如這本書的讀者。
平直時空規範的物理定律可以從數學上根據彎曲時空規範的定律推導出來，反過來也行。這就是說，兩組定律是同一物理現象的不同數學表示，有點像用0.001和1/1 000來表示同一個數。不過，定律的數學公式在兩種表示中看起來是很不一樣的，相應於兩組定律的圖像和範例也大不相同。
舉一個例子。在彎曲時空規範裡，愛因斯坦場方程在口頭上可以說「質量產生時空曲率」。用平直時空規範的語言，場方程被說成「質量產生決定尺子收縮和時鐘膨脹的引力場」。雖然愛因斯坦場方程的這兩個說法在數學上等價，在語言上卻大不相同。
在相對論研究中，學會兩種規範是極有好處的。有些問題在彎曲時空規範裡容易很快解決，另一些問題則需要平直的規範。黑洞問題（如黑洞無毛的發現）最適合用彎曲時空的技巧；引力波問題（如計算兩顆中子星相互圍繞轉動時發出的波）則適合用平直時空的技巧。理論物理學家在成熟中會逐漸覺悟在哪種情形該用哪種規範，他們知道根據需要將問題從一個規範轉移到另一個規範來考慮。星期天他們考慮黑洞時，可能認為時空是彎曲的，而在星期一他們考慮引力波時，可能又認為時空是平直的。這樣的思路轉移，我們在看埃捨爾（M.C.Escher）的畫時會同樣經歷。例如圖11.2。2
圖11.2 埃捨爾的一幅畫。先從一點看（例如，從瀑布頂的流水看），然後從另一點看（例如，從瀑布底的流水看），我們會經歷一次思路轉移，多少有點兒像物理學家從彎曲時空規範轉到平直時空規範的經歷。[c1961 M.C.Escher Foundation-Baarn-Holland，版權所有。]
因為兩個規範的基礎定律在數學上是等價的，我們可以確信，在相同物理條件下，兩個規範所給的對實驗結果的預言將是完全相同的。這樣，我們可以在任何給定條件下自由運用最適合的規範。
自由帶來力量，2這就是為什麼物理學家不滿足於愛因斯坦的彎曲時空規範，而還要發展平直時空規範來作為補充。3
牛頓的引力描述今天仍然還是一種規範。它認為空間和時間是絕對的，引力是同時作用在兩個物體間的一種力（「超距作用」，第1，2章）。
牛頓的引力規範當然不會和愛因斯坦的彎曲時空規範等價，兩家所做的實驗結果的預言是不同的。庫恩說這場理性的鬥爭是科學的革命，愛因斯坦通過革命提出了他的規範，令他的同事們相信，新規範比牛頓的規範更準確地描述了引力（第2章）。在庫恩的這個意義上，物理學家後來提出的平直時空規範不是科學革命，因為它與彎曲時空規範做出的預言是完全一樣的。
引力較弱時，牛頓規範的預言與愛因斯坦彎曲時空規範的預言幾乎是一樣的，相應地，兩個規範在數學上也是近似等價的。實際上就是這樣：在研究太陽系的引力時，物理學家常在牛頓規範、彎曲時空規範和平直時空規範之間游移，哪個規範滿足他的想像，哪個規範顯得更具洞察，他們就用哪一個，而且不會出現問題。3
在一個研究領域中，新人的思想總是比老手更加開放，70年代就出現過一個例子，一些新人的覺悟產生了一個新的黑洞規範：膜規範。
1971年，普林斯頓大學的學生漢尼（Richard Hanni）和博士後魯菲尼（Remo Ruffini）注意到，黑洞行為多少有些像一個導電球。為理解這種奇特行為，我們想像一個帶正電的金屬小球，它攜帶的電場排斥質子而吸引電子。小球的電場可以用類似於磁力線的電力線來刻畫。電力線指向場作用在質子上的力的方向（也就是與場作用在電子上的力的方向相反），線密度正比於力的強度。假如小球獨立於時空中，它的電力線將徑向向外（圖11.3（a））。相應地，作用在質子上的電力也沿徑向離開小球。又因為力線的密度隨離開小球的距離的平方反比例地減小，所以作用在質子上的電力也隨距離的平方而反比例地減弱。
現在，將小球拿近一個金屬球（圖11.3（b））。球的金屬表面帶有可以在表面上自由移動的電子和不能移動的帶正電的離子。小球的電場將球面上的大量電子吸引到附近，而把多餘的離子留在球面各處，換句話說，小球極化了金屬球。4
1971年，漢尼和魯菲尼，另外還有普林斯頓大學的瓦爾德（Robert Wald）和普林斯頓高等研究院的科恩（Jeff Cohen）4分別獨立計算了非旋轉黑洞附近帶電小球產生的電力線的形狀。他們的計算以標準的彎曲時空規範為基礎，結果表明時空曲率像圖11.3（c）那樣使電力線發生形變。漢尼和魯菲尼注意到，它與圖11.3（b）中的電力線是相似的（從圖（c）下面看，與圖（b）近似相同），這令他們想到，我們可以用與考慮金屬球相同的方式來考慮黑洞的視界；就是說，將視界看作一張由正負帶電粒子組成的與金屬的球面相似的薄膜。通常情況下，膜上的正負電荷粒子數相等，即膜上任何區域都沒有淨電荷。然而，當小球靠近視界時，多餘的負電粒子會移到小球下面的區域，膜上將到處留下多餘的正電粒子，視界膜就這樣被極化了。最後，小球電荷和視界電荷所產生的總的電力線就像圖（c）的樣子。
我算相對論的老人了，聽到這些事情時我認為很荒唐。廣義相對論主張，如果誰落進黑洞，他在視界那兒除了時空曲率外什麼也碰不到。他既看不到膜，也看不到帶電的粒子。這樣，漢尼-魯菲尼關於小球電力線為什麼會偏折的描述就沒有現實基礎，純粹是想像。我確信力線彎曲的原因不是別的而只能是時空曲率：力線向下偏向圖（C）中的視界，完全是因為潮汐引力在拉它，而不是因為它被視界的某些極化電荷所吸引。視界不可能有任何這樣的極化電荷。我確信這一點，然而我錯了。
圖11.3 （a）獨立靜止在平直時空的帶正電金屬小球產生的電力線。（b）平直時空中，小球靜止在導電金屬球上方時的電力線。小球的電場極化了金屬球。（c）小球在黑洞視界上方時的電力線。看起來就像小球電場極化了視界。
5年後，劍橋大學的布蘭福德和研究生茨納耶克發現，磁場可從黑洞中汲取旋轉能並用來驅動噴流（即布蘭福德-茨納耶克過程，第9章和圖11.4（a））。5他們還通過彎曲時空的計算發現，在提取能量時，電流從黑洞極點附近流入視界（表現為正電荷粒子落進去），而從赤道附近流出（表現為負電荷粒子落進去）。黑洞彷彿是一個電路的一部分。
計算還說明，黑洞似乎也是電路中的電壓發生器（圖11.4（b））。這台電壓發生器驅使電流從視界赤道流出，又將磁力線驅趕到遠離黑洞的地方，然後將等離子體（導電熱氣體）驅趕到黑洞旋轉軸附近的其他電力線上，最後又將這些電力線趕下來進入視界。這些磁力線是電路的導線，等離子體是從電路提取能量的負載，能源則是旋轉的黑洞。
圖11.4 旋轉磁化黑洞賴以產生噴流的布蘭福德-茨納耶克過程的兩種觀點。（a）黑洞的旋轉產生空間漩渦，迫使穿過黑洞的磁場旋轉，旋轉磁場的離心力將等離子體加速到很高的速度（與圖9.7（d）對比）。（b）磁場和空間漩渦一起在黑洞極點和赤道間產生巨大電壓，結果黑洞成為電壓發生器和發動機。電壓驅動回路產生電流，回路將黑洞能量帶給等離子體並將它們加速到很高的速度。
照這點看（圖11.4（b）），使等離子體加速並形成噴流的動力是由電路帶來的。根據第9章的觀點（圖11.4（a）），動力則來自飄來飄去的旋轉磁力線。兩個觀點不過是對同一件事情的不同考慮方式。在兩種情況下，動力最終來源都是黑洞的旋轉。人們可以憑自己的興趣認為動力來自電路還是來自旋轉的磁力線。
電路的觀點，雖然以標準的彎曲時空的物理學定律為基礎，卻完全是不曾料想過的，而通過黑洞的電流——從極點附近流入，從赤道附近流出——似乎也太奇怪了。1977年和1978年間，茨納耶克和達莫爾（也是一個研究生，但不在劍橋，而在巴黎）都在考慮這件怪事。在認識過程中，他們獨立地將描述旋轉黑洞和它的等離子體和磁場的彎曲時空方程轉化為一種陌生的形式，得到一個生動誘人的解釋：6電流到達視界時並沒流進黑洞，而是落在視界表面，由漢尼和魯菲尼以前想像的那種視界電荷攜帶著。視界的電流從極點流向赤道，在那兒沿磁力線流出來。另外，茨納耶克和達莫爾還發現，關於黑洞電荷和電流的定律是平直時空中電磁定律（高斯定律、安培定律、歐姆定律和電荷守恆定律）的一種優美表達形式（圖11.5）。
茨納耶克和達莫爾並不是說落進黑洞的生命會遇到帶電荷和電流的膜狀視界；他們只不過認為，假如誰想弄清電、磁和等離子體在黑洞外面的行為，他可以把視界看成一張帶電和電流的膜。
我讀了茨納耶克和達莫爾的論文後，才恍然大悟：他們和他們之前的漢尼和魯菲尼在發現一個黑洞新規範的基礎。這個規範很有意思，把我迷住了。我擋不住它的誘惑，在80年代用了很多時間與普賴斯、麥克唐納（Douglas Macdonald），雷德蒙特（Ian Redmount）、孫為默〔音〕、克羅裡（Ronald Crowley）等人把它修飾了一下，寫成一本書：《黑洞：膜規範》。7
寫進膜規範的黑洞物理學定律完全等價於對應的彎曲時空規範的定律——只要我們將注意力局限在黑洞的外面。從而，對一切可能在黑洞外面進行的實驗和觀測——包括地球上的一切天文觀測，這兩個規範的預言是完全相同的。我發現，同時把握兩個規範（膜的和彎曲時空的），在兩者之間經歷埃捨爾式的思路轉移，對思考天文學和天體物理學問題是很有好處的。當我星期天考慮黑洞脈動時，彎曲時空規範可能更適用，因為它的視界是由彎曲虛空的時空構成的。當我星期一考慮黑洞噴流時，膜規範也許更適用，因為它的視界是一張帶電的膜。由於兩個規範的預言保證是一樣的，不管星期幾，哪個規範能適合我的需要，我就可以用哪個。5
圖11.5 黑洞膜狀視界上電荷和電流的有關定律：（a）高斯定律——視界表面電荷的數量正好能終結所有與視界相交的電力線，所以它們不能延伸進入黑洞內部；對比圖11.3。（b）安培定律——視界表面電流的總量正好能終結磁場平行於視界的那一部分；因此視界以下不存在平行磁場。（c）歐姆定律——表面電流正比於與表面相切的那部分電場，比例常數是377歐姆的電阻。（d）電荷守恆定律——沒有電荷消失或產生。所有從外部宇宙進入視界的正電荷都落在視界上，在表面流動，然後離開它又回到宇宙（表現為負電荷落下來中和這些正電荷）。
在黑洞裡面就不像這樣了。落進黑洞的人會發現，視界不是一張帶電的膜，在黑洞內部，膜規範完全無能為力了。然而，發現這一點的下落者付出了很大的代價：他們不可能在外面宇宙的科學雜誌上公佈他們的發現。
[1] 庫恩的「規範」（paradigm），在一些哲學譯著裡譯為「範式」。（漢譯本《科學革命的結構》，李寶恆、紀樹立譯，上海科學技術出版社，1980。）——譯者
[2] 埃捨爾（Maurits Cornelis Escher，1898～1972）喜歡以圖畫表現「不可能存在的世界」，從這點說，他大概是世界上最特殊的畫家。他的畫都充滿了濃厚的數學趣味，用他的話說，「是為了傳達思維的一條特殊線索……最終使藝術步入數學領域。」荷蘭數學家恩斯特（Bruno Ernst）為他的這位同胞寫了一本有名的《M.C.埃捨爾的魔鏡》，帶我們用數學眼光去欣賞他那些神奇的圖畫（這裡看到的是他1961年的石版畫《瀑布》）。——譯者
[3] 比較第1章最後一節，「物理學定律的本質」。
[4] 「極化」在這裡的意思與「極化引力波」和「極化光子」（第10章）有所不同。
[5] 「星期天」、「星期一」的說法，在西方是有傳統的。英國詩人布拉斯韋特（Richard Brathwait，1588？-1673）在拉丁文詩《巴拿馬日記》（1638）中寫道：「我看見一個清教徒，星期一吊起他的貓，等著星期天逮老鼠。」更有趣而且與物理學關係更密切的是布拉格（W.L.Bragg）對玻爾的量子化概念的笑話：「在這個理論中我們似乎該在每週一、三、五用經典定律，在二、四、六用量子定律。」M.Bartusiak還有一本天文學科普書名叫《星期四的宇宙》（1986）。——譯者